迷人的对称
最新书摘：
-
智慧狗兔2022-11-07年轻的哈密顿也取得了同样前所未有的突破：他发现力学和光学可以相互类比——在数学上，它们的表达形式是一致的。
-
智慧狗兔2022-11-0717岁时，哈密顿已经阅读了大量数学大师的著作，掌握了足以计算日食、月食的数理天文学知识。虽然他花在古典学上的时间仍然比数学多，但数学已经成为他真正的热情所在。
-
智慧狗兔2022-11-07计算机也并没有完全淘汰掉手算或心算，你经常可以通过动手计算并观察符号变形，来深入理解数学问题
-
智慧狗兔2022-11-07这种天赋与数学能力截然不同，正如擅长单词拼写并不会使人成为优秀的小说家一样。除了高斯在他的笔记和手稿中留下了大量的复杂计算以外，只有极少数伟大的数学家精于计算。
-
智慧狗兔2022-11-07对称性不再是某种对规律性的模糊印象，或者对优雅与美的艺术感受了。它成了明确的数学概念，具有严格的逻辑定义。你可以对对称进行运算，证明关于对称的定理。一个新的学科诞生了：群论。这是人类探求对称性的转折点。只有当人们愿意进行更加概念化的思考后，这一进步才得以实现。群的概念是抽象的，从数和几何图形这些传统的原材料到它之间，隐去了很多个阶段的思想提炼。
-
智慧狗兔2022-11-07数学家永远不会知足。一个问题的解决只会催生出新的问题。
-
智慧狗兔2022-11-07范德蒙也确实把小提琴拉得炉火纯青，走上了音乐的道路。但是在1770年，他对数学产生了兴趣。他发表的第一篇数学论文是关于多项式的根的对称函数的——像“所有根的和”这样的代数表达式就是根的一个对称函数，如果把这些根互换，对称函数保持不变。这篇论文最具原创性的贡献就是证明了方程xn-1=0——它的解在复平面上构成正n边形——当n小于或等于10时，可以用根式求解。（事实上对任何的n，方程都是根式可解的。）伟大的法国分析学家奥古斯丁-路易·柯西后来在引用时表示，是范德蒙第一个认识到可以把对称函数应用到求方程根式解的问题上。
-
智慧狗兔2022-11-07对卡尔达诺《大术》的首次重大突破发生在18世纪中叶。虽然文艺复兴时期的数学家可以解出三次和四次方程，但他们的方法只不过是集合了一连串的小技巧。之所以每个技巧都行得通，可能更多是出于一系列的巧合，并没有任何系统性的原因。
-
智慧狗兔2022-11-07高斯的问题在于能力太强，不得不在自己最喜爱的两个学科中做出选择——数学和语言学。
-
岂能无怪哉2022-11-19他们的想法是：宇宙会遍历所有可能的弦论，从某一个弦论开始，最后坍塌成碎片，然后量子“隧穿”到其他弦论。如果你等得足够久，在某个阶段，宇宙的真空能量值终究会进入适宜生命的范围。2006年，保罗·斯坦哈特（Paul Steinhardt）和尼尔·图罗克（Neil Turok）提出了“隧穿”理论的一个变体：每隔万亿年尺度的时间，宇宙都会在大爆炸中扩张，又在大挤压中收缩，如此往复。在他们的模型中，每一个周期的真空能量都会低于上一个周期，因此宇宙最终的真空能量会变得非常小，但是不等于0。在两种模型中，都会有一个真空能量足够低的宇宙在很长一段时间里徘徊着。这样的条件适宜生命出现，它们有充分的时间发展智力，最终开始好奇为什么自己会存在于此。
-
岂能无怪哉2022-11-19如果你是高斯那样的天才，你就会明白为什么这两个平平无奇的命题就意味着能够用直尺和圆规作出正十七边形。而如果是生活在公元前500年到公元1796年之间的除高斯外的任何一位伟大的数学家，恐怕连这种关联的一点儿蛛丝马迹都找不到。我们之所以能这么说，是因为确实没人做到。
-
岂能无怪哉2022-11-19和当时许多数学家一样，吉罗拉莫也研习占星术，并且记下了自己出生前后的星象：听说我的母亲曾经用过很多种堕胎药，但都没有成功，我还是在1500年9月24日正常出生了，时间就在入夜后的半小时到三刻钟之间……因为各个星体的位置互相不协调，火星对每个星体都产生了不好的影响，而它与月亮的相位呈刑相。……如果不是上一次合相发生在水星掌管的处女座29度位，我很可能已经是一个妖怪了。而且无论是水星、月亮还是上升星座的位置都不相同，在整个处女座第二区间中也没有出现这样的情况。所以我差点儿就成了一个妖怪，而的确就在千钧一发的时候，我从母亲的子宫里被扯了出来（确实是“扯”出来的）。我就这么出生了，或者说是被我母亲用暴力方法弄了出来，几乎夭折。我拥有一头卷曲的黑发。我是被浸泡在热葡萄酒中苏醒过来的，要是对其他婴儿这么做可能会致命。母亲生产了整整三天才生下我，而我竟然活了下来。
-
岂能无怪哉2022-11-19科普写作中一个传统的说法是，每多一个方程，书的销量就会减半。
-
智慧狗兔2022-11-07你在厨房里做饭或者开车去上班的时候可能用不到群论，但如果没有它，现代科学的威力会大大减弱，我们的日常生活也会与今天大为不同。没有群论，我们就不可能拥有从大型喷气式飞机到GPS（全球定位系统）这样的设备，但这还不是最重要的，最重要的是我们无法像如今这么深刻地理解自然。没人可以预料到，一个看似钻牛角尖的关于方程的问题能揭示出物理世界的深层结构，但事实就是如此。历史给我们的启示简单而明确：不应该仅仅因为没有直接的实际应用，就拒绝或者贬低对深刻数学问题的研究。好的数学比黄金更有价值，它从何而来大多无关紧要，重要的是它把我们引向何处。一个令人惊讶的事实是，最好的数学往往能把我们引向一些意料之外的结果，而且它们大多数对科学和技术都至关重要，尽管它们最初是为一些完全不同的目的发明的。
-
[已注销]2020-07-03阿贝尔已经病得无法走动了，只得待在芬罗兰，尽管有克里丽的精心照料，他还是越来越虚弱，咳嗽得越来越厉害。只有在更换席子的时候，他才能够下床。当他想要研究数学问题时，却发现无法执笔。他贫病交加，只能沉湎于过去之中，但他从不向自己的爱人吐露自己的爱，一直到大限将至都保持着良好的脾性。作为阿贝尔的未婚妻，克里丽很自然地发现已经难以掩饰自己的痛苦，玛利或汉娜就让她守在床前。阿贝尔咳嗽得越来越厉害，已经无法人睡。汉娜一家雇了一个护土照看阿贝尔，这样，克里丽可以休息一会儿。4月6日，在被发烧折磨了一夜之后，阿贝尔去世了。汉娜写道：“4月5日晚间，他经受了最大的痛苦。天快亮时，他越来越安静了，上午11点，他撒手人寰。我的妹妹和他的未婚妻伴他度过了最后时刻，看着他安静地投入了死神的怀抱。”五天后，克里丽写信给凯瑟琳·汉斯丁的妹妹亨利耶蒂·菲德里克森，让她通知凯瑟琳发布这一噩耗。“是的，我最亲爱的人，我不得不写下这封信，我很感激您的姐姐。我用颤抖的笔请求您告诉她，她失去了一个善良、虔诚、对她无限热爱的年轻人。“我的阿贝尔死了！我失去了世上的一切，我已经一无所有。原谅我，我不能再哭诉不幸了。告诉她收存我包好的阿贝尔的头发留念吧，要以最仁慈的方式把这件事告诉你的姐姐。你不幸的克里丽·坎普。”
-
[已注销]2020-02-10在德国，大多数量子理论的创始人都出身知识分子家庭，他们的父亲往往是医生、律师、学者，或从事其他诸如此类的职业。他们生活在豪华的房子里、演奏音乐，并参与当地的政治和文化生活，而量子理论伟大的英国创始人的童年则悲惨得多。他和自己专横而乖戾的父亲住在一起，而这位父亲和自已的父母也分居两地，这孩子的母亲整天战战兢兢，在丈夫和他们的小儿子在餐厅里默不作声地用餐时，她只能带着两个孩子在厨房里吃饭。这位父亲名叫查理·阿德里恩·拉迪斯拉斯·狄拉克（Charles Adrien Ladislas Dirac）， 1866年出生于瑞士的瓦菜州（ canton of Valais），20岁时就远离家门。査理在1890年到了布里斯托，但直到1919年才成为英国公民。1899年，他与一名船长的女儿弗洛伦·汉娜·霍尔顿（ Florence Hannah Holten）结婚。第二年，他们的第一个孩子雷吉纳（ Reginald）出生，两年后，第二个儿子保罗·阿德里恩·莫里斯（Paul Adrien Maurice）出生；又过了四年，他们生了一个女儿，取名贝阿特丽斯。査理并没有告知自己的父母自己已经结婚，也没有告诉他们其实他们已经当上了祖父母，直到1905年他回瑞士探母时，他们才知道上述情况。查理在布里斯托的“商业技术学院”（ Merchant Venturers Technical College）当老师。人们大多认为他是一个好老师，但却出了名地没有人情味，而且非常严厉。总之，他是个严守纪律的人，很多老师都是这样。保罗生性内向，而父亲的孤僻与缺乏社会活动更加剧了他的内司，査理要求保罗与自己说话的时候只能讲法语，这可能是出于督促学习这门外语的目的。由于保罗的法语很糟糕，以至于干脆就不和父亲说话了。他转而把时间都花在了对大自然的遐想上。狄拉克一家所以缺乏社会活动，也可能是只用法语交谈的习惯所...
-
[已注销]2020-02-08爱因斯坦说他对物理学的兴趣是在父亲给他看了一个指南针之后被激发起来的。四五岁的时候，阿尔伯特对指南针无论怎么转动都指向同一个方向的能力特别着迷，这使他第一次窥见了物理世界之神奇。在学校里，阿尔伯特成绩不错，但没有显示出什么特别的天赋。他慢条斯理，成绩优秀，但是不善交际。他更喜欢自娱自乐，尤其喜欢用卡片搭建房子。他不喜欢体育运动。1888年去了体育馆后，他学好了拉丁语，直到在15岁离开那里的时候，他的拉丁语和数学在班里都是拔尖的。他数学方面的才能是被他的叔叔雅各布激发出来的，雅各布是个工程师，学过一点高等数学。阿尔伯特家有一个叫马克思・塔尔穆德（ Max Talmud）的朋友，也对他的教育产生了重要影响。塔尔穆德是一个学医的贫困生，赫尔曼和保琳每个星期四晚上都会请他到家吃晚饭。他给了阿尔伯特几本科普书，后来他又启迪这孩子去读康德的哲学著作。他们会一连几个小时地谈论哲学和数学。塔尔穆德曾写道，自己从未见过爱因斯坦和别的孩子一起玩要，而且他读的都是些很严肃的书，没有轻松的读物。他惟一的放松方式就是演奏音乐，其中包括贝多芬和莫扎特的奏鸣曲，保琳会为他伴奏。1891年，在得到一本他后来称为“几何圣经”的欧几里得几何学著作后，阿尔伯特对数学的热情爆发了。书中吸引他的主要是清晰的逻辑和欧几里得发现的思维模式。爱因斯坦一度由衷地感激学校的强制训诚（在旧教中，这是必须无条件服从的）和家庭中的犹太信仰教育。但是一旦他找到了科学，这些东西也就被弃之不顾了。自此，他希伯来文的学习和为成人礼所作的努力全都骤然中断。阿尔伯特听到了新的召唤。
-
[已注销]2020-02-08基令著作的真正价值是在1894年被人们发现的。当时，卡当在自己的博士论文中重新得出了完整的理论，不仅在单李群的分类问题上前进了一大步，还用矩阵语言将其表述了出来。卡当直言不讳地将自已差不多全部的思想都归功于基令。他对基令的所有成果都进行了整理，补充了一些漏洞（有些是很严重的漏洞），还更新了一些术语。但是有一种传闻迅速被夸大，说基令的理论充满漏洞，功劳应该属于卡当。很少有数学家是合格的历史学家，他们总是褒扬自己知道的著作，而不去赞扬促成这些著作问世的更早的作品。所以基令的很多思想都被归在了卡当的名下。只要是读过基令著作的人就很快会发现传闻是错误的。这些著作中的思想条理清晰，其中的证明有些过时，但几乎完全正确。更重要的是，书中所用的思想清一色是为了一个预期的结果而巧妙地选择出来的。这是最高级别的数学，没有人能做到如此尽善尽美。但是很不幸，几乎没有人读过基令的著作。他们只读过卡当，所以基令的功劳被他们忽略了。但是最终，基令的著作得到了应有的认可。1900年，他获得了卡赞物理数学协会（ Kazan Physico-Mathematical Society）颁授的罗巴切夫斯基奖（ Lobachevsky Prize）。这是这个奖项的第二次颁授，而第一次获奖的就是李。基令死于1923年。直到今天，真正知道这个名字的人仍没有应该知道这个名字的人多。他是有史以来最伟大的数学家之一，无论如何，他留给我们的遗产都是不朽的。
-
[已注销]2020-02-04鲁菲尼认为之所以没有人能解释五次方程无法求解的原因，就是五次方程是不可解的。具体地说，就是根本没有关于比根式更简洁的解五次方程的公式。在1799年出版的卷本著作《方程的一般原理（ The General Theory of Equations）中，他声称可以证明自己的论断，他认为，“四次以上方程的代数解法是不可能存在的、。请看下面的重要命题，我可以肯定（如果我没错的话）：给出对这一论断的证明是我发表这本书的主要原因。在不朽的拉格朗日的伟大思考中，已经为这一证明打好了基础。”这项证明包含了长达500页的蹩脚的数学论证。其他的数学家读这样一本书是个苦差使。除非有充分的理由，否则即使在今天也不会有人读完这样一项冗长而琐屑的证明。如果鲁菲尼提出了一种解法，他的数学界同仁肯定早就试着去证明它了。但要他们把那么多时间花在这样一个消极的结论上，可以想像会有多么强人所难。尤其要说明的是，这一结果很可能是错误的。在一本500页的数学著作中的第499页发现一个错误，还有比这更让人气恼的事情吗？
-
[已注销]2020-02-03对欧几里得来说，逻辑证明是几何学的本质特征，也一直是数学的基础。对一个缺乏证明的命题是应该存疑的，不论有多少相关证据的支持，也不论它有多么重大的意义。物理学家、工程师和天文学家总是鄙夷逻辑证明，他们党得这是一种书生气的东西，因为他们有个更实效的替代品：观察。比如，如果一个天文学家在测算月球的运行时草草写出了月球运动的数学方程，就会很快陷入窘境，因为看起来并没有精确的解方程的办法。因此，天文学家会对方程添添改改，并且引入大量简化的近似值。数学家却担心这些近似值会严重影响最后的结果，并总想确证它不会出问题。天文学家有一套完全不同的方法，来检验自己结论的合理性，他可以看一下月球的运动是否符合自己的推算结论。如果符合，那就等于说证明了这种方法是正确的（因为得出的结果是正确的），同时也验证了这一理论（因为同样的原因）。这种逻辑是非常干脆的，因为如果一种方法存在数学向题，那就几乎可以肯定它无预测月球的运动。没有观察和设备这些奢侈品，数学家只能通过内在逻验证他们的理论。一个论点的意义越重大，就越需要逻辑证明。所以，当人们都希望一个论点是正确的，或者如果它是正确的就会产生重大意义的时候，逻辑证明就更加重要了。证明不能空穴来风，也不能无限地向后回溯到先前的逻辑。它必须开始于某一点，这一点必须是某些未被证明——也不可能被证——的东西。我们今天把这种未被证明的起始点叫做公理，这些公理对某种意义上的数学问题来说就是其游戏规则。如果谁反对公理，就尽可以改变它，但那就是另外一种游戏了。数学决不会断言某一论点为真，它只断言，如果我们作出大量假设，那么与其相关的陈述就必须是一种逻辑推论。这并不是说人们不能挑战公理。数学家们会为了某种目的而争论某一既有公理体系是否优于另一公理体系，也会争论这一体系是不是具有某种本质性的优点或好处。但这种讨论与任何特定公理游戏的内在逻辑无关，而关乎到底哪种游戏...