简明数学分析

• 敬之俊如

  2014-11-29
  实数理论是分析数学的基础，这是自英国人牛顿 (Isaac Newton 1642—1727)和德国人莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz 1646—1716)在1665—1675年发明微积分后，人们经过两百年才认识到，并最终在1872—1873年给出了在现代数学意义下合理的解决方案. 然而，即便在此后一百多年的今天，实数理论仍然是个令不少人望而生畏的领域.目前常见的实数处理方案有下面几种： (1)用戴德金分割 (Julius Wilhelm Richard Dedekind 1831—1916，德国人)； (2)用柯西基本列 (Augustin-Louis Cauchy 1789—1857，法国人)； (3)用公理化方式处理实数. 这些处理方式的根本缺陷是，与人们对实数的日常理解，特别是中小学的实数内容严重脱节，把实数不必要地复杂化，反而妨碍了对实数的理解.实际上，在现有数学工具 (集合论)的基础上，实数理论是能够与人们对实数的日常理解和中小学教材很好衔接的.这里对于初学者的困难在于，要把以往含糊理解的实数性质，在数学的严格意义下讲清楚.而这正是学习数学分析课程目的之一. 在这一章中，将首先简述数系理论的发展历史，说明定义实数所遇到的困难，然后建立实数理论.
• 敬之俊如

  2014-11-29
  定义实数遇到的困难是如何从有限小数“过渡”到无限小数，其中包括概念和运算.基本想法都是利用有理数序列逼近 (极限)，这就有两个问题：⑴引入序列和极限等相关的概念；⑵定义清楚作为极限的实数.目前虽然已经知道将实数在数学上定义清楚的众多性质，但是如何写出一个逻辑上正确、清晰和不难接受的实数理论仍然有待努力. 在这一章中，将按下面的方式建立实数理论： ⑴与中学实数定义衔接，用十进小数定义实数系； ⑵定义实数的序； ⑶建立实数的完备性； ⑷利用有限小数的运算和实数的完备性定义实数的运算； ⑸建立实数的运算和比较性质.
• 敬之俊如

  2014-11-29
  这也许是个十分有趣的现象.数的使用几乎与人类的历史一样长，有人通过观察推断：动物有数感.在人类文明史中，数的概念是逐步扩展起来的.然而，数的严格意义上的理论直到在19世纪后半叶才完成. 虽然欧几里得《几何原本》中已经讨论了可公度比和无公度比，除去没有定义什么叫无公度比的相等之外，差不多已经具备了讨论现代自然数，非负有理数和实数理论的基本要素. 然而建立数系理论的基本推动力恐怕还是来自完善数学分析理论和保证数学的真实性的要求.对于前者，后面的学习会给出合理的解释；对于后者，是由于非欧几何的出现，几何失去了其直观真实性.如德国人高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777—1855) 在1817年意识到的那样：数学在哲学意义上的真实性应当建立在算术基础上了，也就是要建立严格的实数理论. 数学家早就知道，在自然数理论的基础上，可以建立整数和有理数的理论.现在所说的建立实数理论，是指以有理数系为基础建立实数理论.通常的直观想法是把无理数看成是有理数的极限，然而极限只有在存在的前提下才能讨论. 对无理数的第一个处理方式是由英国人哈密顿 (William Rowan Hamilton 1805—1865)在1833—1835年提出来的，他以时间作为实数的基础，提出了将有理数分成两类的方式定义无理数的方法.德国人魏尔斯特拉斯 (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass)在1857年，法国人梅雷 (Charles Méray 1835—1911)在1869年也提出了类似的处理方式.最终戴德金于1872年完成这种一般叫做戴德金分割的处理方式.在1873年康托尔则给出了柯西基本列的处理方式. 值得注意的是，分割的想法是对无理数的不足近似和过剩近似的理论说明，这个想法在《几何...
• 敬之俊如

  2014-11-29
  实现分析课程的内容按不同的标准可以做不同的划分.按照局部和全局的观点，数学分析分为微分学和积分学，也就是，数学分析就是微积分；如果再将其中的“离散”部分分出来，也有分成：微分学，积分学和级数论的.如果从变量个数着眼，也可将微积分分成一元微积分和多元微积分.如果从“平”和“曲”的角度，也可以将微积分分为“平面”上的微积分和“曲面”上的微积分. 上面这些分类的方法，都有各自的合理性，在本书中，将按照学习的顺序将课程内容大体分成：实数理论，极限理论和连续性，微分学，积分学，对级数或积分所定义函数的研究，曲线和曲面上的积分理论.由于代数和分析工具的准备不足和其他方面的一些原因，本书将不讨论曲面上的微分学，这方面的内容将在微分几何类的课程或书籍中讨论.即便对于曲面上的积分理论，本书中也只讨论最基本的情形，其进一步的讨论也可在微分几何类的课程或书籍中找到. 值得指出的是，本书所涉及的内容都是数学中最基本内容.也就是说，在理论上，这些内容是学习和使用其他数学内容的出发点；在思想方法上，这里讨论的是今后数学学习和与数学相关研究工作的基本参照.这种参照包括，数学分析课程为在总结和陈述所获得的数学成果提供了足以借鉴的表述方式，也为评价数学结果的完整性提供了范例.
• 敬之俊如

  2014-11-29
  什么是数学分析？数学分析包括哪些内容？这是在不同的时代，回答不尽相同的问题.对于数学分析，可以从广义和狭义两个层次上予以解说. 广义地说，数学分析要研究的是与所谓连续性有关的数学问题.为此人们建立了许多有效的方法，其中重要的工作是确切地说清楚了极限现象，也就是在数学上合理地定义了极限.经过了几百年的发展，数学分析形成了庞大的(数学)分析学领域，它包括了许多现代数学学科：函数论(实变函数论和复变函数论)，微分方程(常微分方程和偏微分方程)，随机数学(概率论、统计学和随机分析)等等(分析学几乎是数学学科中的“无底洞”！——引者).同时数学分析的发展也促进了数学其他学科的发展，比如代数学和几何学.不少代数和拓扑的问题也起自分析学中的一些问题. 狭义地说，数学分析就是微积分.特别是作为数学专业的基础课指的就是微积分，但它比其他专业的高等数学课程中的微积分要深刻得多和完整得多.高等数学课程对于其他专业来说，基本上是一个工具课程，也就是说，会使用相关的现有数学工具就够了.而数学专业的数学分析课程，对于现有微积分工具的把握只是课程内容的一部分.实际上，数学分析课程还要讲清微积分中各种极限思想和方法，解释诸多数学上和微积分中的为什么，以便为学生建立合理的数学观提供基石；另外，数学分析课程还将提供对学生在数学理解、数学表达和数学攻坚等方面的严格训练.
• 敬之俊如

  2014-11-29
  莱布尼茨 (1646—1716)： 1661年入莱比锡 (Leipzig) 大学学法律.1663年获学士学位.1666年具备获法学博士的资格 (出于嫉妒，该校教师拒绝授予)，被另一所大学授予博士和请其为教授 (但他拒绝了后者的盛情). 作为律师，他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波，使得他具有在任何时间，任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着.他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过.有趣的是他的头颅比一般人的都小. 1666年，在其称作“中学生随笔”的《组合艺术》(Dissertatio de arte combinatoria——引者)中立志要创造出“一般方法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”.为此他创立了符号逻辑但未能完成，发明了能做四则运算和开方的计算机.由于其才能而被种种琐事困扰. 1672—1673年请求惠更斯 (Christiaan Huygens 1629—1695，荷兰人)教授了他现代数学；在英国了解到无穷级数方法. 1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过伯努利兄弟(James Bernoulli，原名Jacob 1654—1705 和 John Bernoulli 1667—1748) 发展而成为一种强有力而又容易运用的工具. 莱布尼茨建立了微积分的基本记号和术语，包括微积分 (Calculus，原意是鹅卵石，用于计数)，微分 (原意是差的，Differential)，求导和积分的符号.建立了求导的四则运算规则.1673年引入函数的术语. 莱布尼茨提出：不能像卫道士那样，只有知识而没有判断.
• 敬之俊如

  2014-11-29
  牛顿 (1642—1727)： 1661年6月(顺治十八年)入剑桥三一学院 (半公费，即做仆人挣钱缴学费的学生)，其指导教师是巴罗 (Isaac Barrow 1630—1677).1664年1月 (康熙三年)获学士学位. 1664年至1666年，英国流行黑死病(鼠疫)，牛顿于1665年至1666年回家乡呆了18个月.其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流，变化率为流数)，发现了万有引力定律，用实验证明了白光为各种颜色光合成. 1665年11月发明“正流数法” (微分法)，1666年5月发明“反流数法” (积分法)，1666年10月总结出文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理. 1669年接替巴罗的教授职位；1687年 (康熙二十六年)出版了《自然哲学之数学原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica). 牛顿有关流数的著作到他身后才发表 (1736年，乾隆元年).
• 敬之俊如

  2014-11-29
  微积分是由英国人牛顿 (Isaac Newton 1642—1727) 和德国人莱布尼茨 (Gotfried Wilhelm Leibniz 1646—1716) 建立的.实际上有关一些想法可以追溯到人类文明史的开端，几乎各个文献记载比较丰富的民族都可以找到类似的一些想法.这与数系的发展中所遇到的讨论是类似的.之所以说微积分是牛顿和莱布尼茨建立的，有的人甚至说微积分是由他们发明的，是由于他们提出了系统的理论和方法，把微积分变成了一种可以把握的工具.这里简单地叙述一下牛顿和莱布尼兹创立微积分的大概时间脉络.
• 敬之俊如

  2014-11-29
  5.对多元微分学、积分学、傅里叶理论做了一定的优化和充实。 数学分析课程是数学课程中牵涉面广，教学内容多的课程，进行这门课程的反思和改进其工作量是异常巨大的。如果没有一个能够通力合作的教学团队和各方面的支持，几乎是难以完成的。在第二版的写作过程中，郇中丹担负了数学中的文字写作工作，刘永平设计了书中的大部分图。作者三人之间的讨论和相互支持自始至终对写作工作起了巨大的保障作用。 这一版的编写得到了国家教育部精品课程建设，北京师范大学数学科学学院等组织的支持，同时也获得了我们许多同事的帮助。这里特别感谢施翔辉博士对本书集合论部分的指教。 我们的学生也给了我们巨大的支持，这包括数学系本科2001、2002、2003、2004、2006、2007、2008级和2001级励耘(原文误作“酝”——引者)班的同学。特别要感谢2006级的吉瑶同学主动校对了部分初稿。另外2008级的阿卜力孜·艾海、曹絮、陈文雯、李心怡、商熵、易博文，赵红芳等许多同学指出了不少初稿中的笔误，在此对他们致以谢意。 限于著者的学识和教学及教育水准，这一版中仍然会存在不少不足和疏忽，敬请各位专家和读者不吝指教。 著者 2009年2月于北京师范大学
• 敬之俊如

  2014-11-29
  数学分析是数学类专业学生最重要的基础课之一，它对于学生数学观念和数学技能的培养具有无可替代的地位。鉴于对我国，特别是北京师范大学数学系本科生教育半个多世纪历史的反思，特别是2001年7月王昆扬《简明数学分析》(第一版)出版后七届数学类专业学生数学分析课程的教学实践，我们在王昆扬《简明数学分析》第一版的基础上编写了这本《简明数学分析》第二版。 第二版坚持第一版中提出的“一是应该用先进的内容替代落后的内容；二是应该把教材写得内容深厚而又精炼简明”的原则，保持“因材施教，应能对于培养优秀的数学教育和数学研究人才起较好的作用”的初衷。在八年教学、研究和反思的基础上，这一版对第一版书中的内容进行了一些调整。这些调整主要是下面几个方面： 1.在实数理论方面，直接以初等数学中实数“定义”为基础，以现代集合论为工具完整地给出实数理论，特别突出了确界在实数理论中的作用，以便澄清实数理论中种种逻辑关系。为数学类本科生入门提供接受现代数学的陶冶。 2.鉴于一元微积分在数学理论和应用中的重要性，自身特点和学生的认识过程，对一元部分内容做了必要的充实，并将其作为引入统一极限观点的入门载体。 3.由于黎曼积分仍然是目前流行的积分理论，同时黎曼积分的微元法思想仍然是数学和其他科学领域中的基本思想之一，数学类专业学生应当对黎曼积分理论有一定深度的了解，这一版对黎曼积分做了必要的讲解。(第一版中完全用勒贝格积分取代了黎曼积分，这种改正是必要的——引者)